置き換えて処理の二次関数。これが難しいね!

置き換えて終わり??だったら置き換える意味ないやん

\(x \)が実数全体を変化するとき、関数

\( y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x) \)

の最小値を求めたい。

という問題を考えてみます。

結構有名な問題ですし、なかなか腕の見せ所的な問題です。

さてさて、置き換えるってどういう意味なのかというと言葉の通りです。

塊を記号であらわすこと。 これを置き換えと言います。

なんで置き換えるのかという理由は、

式全体を見やすくするから

なんです。置き換えてすごく快適に式を見渡せることが多くなります。

有名なところ、三角関数の最大最小問題では\(t\)と置き換えてよく考えます。

既にやったことがある人はいるでしょう。

でね、結論から書くと置き換えてあなたが必ずすることは

範囲の設定です。

これが本日のポイント。

二次関数の問題を解くときに、「置き換えたら範囲設定だ」っていう発想が身についていたら後々楽になります。

ではやってみましょうか。

次の問いを一緒に考えてみましょう。

\(x \)が実数全体を変化するとき、関数

\( y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x) \)

の最小値を求めたい。

次の手順でやってみましょうか。

(1)\(x^2-2x=t \) とおいたとき、 \( t \) の範囲を求めよ。

これがさきほどに言っていた「置き換えたら範囲設定」のところです。

範囲設定はわかったけど、じゃあどうして範囲設定をするの??わかりますか?!

このテーマで授業を今年度にしたんだけど、意外とこの発想ができる生徒が少なかったです。

でもね、日本語を少し変えると解けるようになるから面白いところもあるんだけどね。

(1)\(x^2-2x=t \) とおいたとき、 \( t \) の最小値と最大値をあるなら求めよ。

としてみました。どうでしょう。これだったら、できる気がしませんか??

範囲設定というのは、最大値と最小値を求めることと同じ意味なんです。

最大値と最小値を求める道具は、二次関数の問題ではたった1つ。

平方完成です。

これをしていきましょう。

平方完成については
https://studysupply-main.sakura.ne.jp/2020/03/24/completing-the-square/
を参考に。

\(t=x^2-2x\)

\(=(x-1)^2-1 \) となりますね。

だから \(x=1 \) のとき、最小値が \( -1\)となります。

この最小値というのは \( t \) の最小値です。この辺りは大丈夫かなと思いたいですね。

ちなみに最大値はなしです。(無限となるから)

だから \( t ≧-1\) となります。これを(☆)としておきますね。

(2)\(y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)の最小値を求めよ\)

\((1)よりy=t^2+4tとなり、これを平方完成すると\)

\(y=(t+2)^2-4となります。\)

だから、 \( t =-2 \) のとき、最小値は \( -4!!!!!!\)

としないでくださいね。

こんな解答は情けないですよー!!

あのね、(1)で \(t\)の範囲を求めたでしょ。(☆)です。これがポイントなんです。

だから、 \( t =-1 \) のときが最小値をとる

となります。(グラフ書いてみてね)

このとき \(y=(-1)^2+4(-1)=-3) となりこれが最小値となります。

どうでしたか??

ポイントは1つ。

置き換えたら範囲設定

というところです。

[偏差値]48~
[やりやすさ]☆☆☆☆
最近出版された本の中ではとても良心的な本の一つです。タイトルに威圧感があるだけに近寄りがたい雰囲気がしていますが、そんなことはありません。
全体的な完成度は高いです。チャート式が合わない人やチェックアンドリピートをやるかどうかを悩んでいる人はこの本も選択肢に入れてください。
解説も丁寧で好印象です。 最低この本は4回繰り返してやってほしいところです。頑張ってすると全統模試で偏差値が55を超えます。

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